En este trabajo estudiamos el problema de valor inicial (P) del sistema generalizado de Bona-Smith. Para el estudio de la existencia, unicidad y dependencia continua respecto del dato inicial de la solución local del problema (P) utilizamos el teorema del punto fijo de Banach. Luego, mostramos como tal solución local puede ser extendida a una única solución global y por ende analizamos el comportamiento asintótico de la solución del problema lineal y no lineal del problema de valor inicial (P). Por último, obtenemos mejores resultados locales para la existencia y unicidad de la solución mild de nuestro problema de valor inicial (P) para el caso en que p = 1 y para ello usamos algunos estimados que “generalizan” la propiedad de que los espacios de Sobolev son una álgebra de Banach.